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对一道竞赛题解法的商榷

浏览:548  来源:广深家教信息网  日期:2009-10-02

题目 求满足下述条件的最小正整数n,对于这个n,有唯一的正整数K,满足 (第五届美国数学邀请赛题)

不少初等数学的书刊上都曾对本题给出过解答,多数的解法是:

因为n、k均为正整数,故只需满足:

所以满足条件的n=112。上面解法的推理不严密,只说明n=112时,存在唯一的正整数K使原不等式成立,并不能说明K值唯一存在时,112是的n最小值。事实上,若将不等式(1)进一步变为

要使正整数K的值唯一存在,必须且只需区间

所以1≤n≤112,n的最大值是112(这时k=97).用枚举法对n从1开始试算,易知n最小是15时,(2)式中的k有唯一的值13.


     

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